Fils d'un autre Joseph Arquinet (1811-1869) originaire de Filain et de Marguerite Laurency, Joseph Arquinet vit toute sa vie à Vesoul, où il travaille dans l'administration de la mairie. Chef de bureau, il termine sa carrière comme receveur municipal.

Il épouse le 4 mars 1866 Claire Marie Poulot (1848-1880), fille d'un artisan de Gray, qui le laisse bientôt veuf. Ils ont deux enfants : Adolphe (1866-1934) et Louise (1874-1937).

Il est membre de la Société d'agriculture, lettres, sciences et arts de la Haute-Saône à partir de 1907, donc à sa retraite